Les documents ci-ensuite ont été
réalisés durant la préparation à
l'agrégation externe de mathématiques 2011-2012 à l'ENS
Cachan Bretagne et à l'université de Rennes I.
Les plans de leçons ont été reproduits
en l'état et n'ont pas été
altérés (exception faites de quelques menues annotations
papillonant gaiement deci-delà) : ils sont
présentés ici à titre purement indicatif. Les
développements en revanche sont l'oeuvre (si vous me passez
l'expression) de votre serviteur.
Avertissement
sans frais : ces documents contiennent très certainement
un nombre proprement
colossal de coquilles, fautes de frappe et autres erreurs éhontées. Je
ne saurais en aucun cas
être tenu responsable des dégats occasionnés
à votre scolarité et/ou à votre santé
mentale par les coquilles suscitées. Vous
faites usage de ces documents à vos risques et périls
(en particulier, les plans fournis n'ont pas été
modifiés et peuvent donc contenir des erreurs).
Comme il est d'usage, je m'engage solennellement à corriger dans un
délai raisonnable toute erreur faute de frappe dans mes développements
(pas dans les plans)
qui me sera
signalée
par formulaire de contact
ou pigeon
voyageur. Si vous ne le faites pas pour vous, faites le
pour les autres :-).
Ici
vous trouverez :
- mes développements (session 2012) ;
- les plans (scannés) des leçons
présentés à Beaulieu sur l'année 2011-2012 ;
- des liens.
|
- Développements
:
Ce qui suit
est une liste organisée alphabétiquement de tous les
développements que j'ai rédigé lors de ma
préparation à l'agrégation en 2011-2012. J'ai
renoncé à les classer ici selon le motif usuel
"Algèbre/Analyse/Mixte" car un tel classement est
dépendant des couplages leçon/développements du
candidat. Je met cependant à votre disposition un (magnifique,
disons ce qui est) fichier global (intégralement
hyperlié, c'est vous dire si je m'y suis investi) contenant mes
couplages et classant mes développements selon le motif
précité. Ces documents sont placés sous licence CC BY-NC-SA 4.0.- Fichier global (recommandé) [.pdf] [.ps]
- Liste en vrac (c'est vous qui voyez) :
- Action de $PSL_2(\mathbb{R})$ sur le demi-plan de Poincaré [.pdf]
- Algorithme des facteurs invariants [.pdf]
- Composantes connexes des formes quadratiques non dégénérées [.pdf]
- Critère de Weyl [.pdf]
- Décomposition de Dunford [.pdf]
- Dual de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ [.pdf]
- Ellipsoïde de John-Loewner [.pdf]
- Équation de Hill-Mathieu [.pdf]
- Équation de Schrödinger [.pdf]
- Espace de Sobolev $H^1(I)$ [.pdf]
- Estimation des grands écarts [.pdf]
- Formule d'inversion de Fourier [.pdf]
- Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin [.pdf] (variante)
- Formule sommatoire de Poisson [.pdf]
- Groupes d'ordre $pq$ [.pdf]
- Inégalité isopérimétrique [.pdf]
- Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur $\mathbb{Q}$ [.pdf]
- Isométries du cube [.pdf]
- Le développement vide [.pdf]
- Lemme de Borel [.pdf]
- Lemme de Morse [.pdf]
- Méthode du gradient à pas optimal [.pdf]
- Méthode de Newton [.pdf]
- Nombres de Bell [.pdf]
- Nombres normaux [.pdf]
- Partitions d'un entier en parts fixées [.pdf]
- Points extrémaux de la boule unité de $\mathcal{L}(E)$ [.pdf]
- Polynômes irréductibles sur $\mathbb{F}_q$ [.pdf]
- Polygones réguliers constructibles [.pdf]
- Problème de la ruine du joueur [.pdf]
- Prolongement méromorphe de la fonction $\Gamma$ d'Euler [.pdf]
- Réduction des endomorphismes auto-adjoints [.pdf]
- Simplicité du groupe alterné [.pdf]
- Sous-groupes compacts de $GL_n(\mathbb{R})$ [.pdf]
- Table de caractères du groupe diédral [.pdf] (version anglophone)
- Table de caractères de ${\mathfrak{S}}_4$ [.pdf]
- Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible [.pdf]
- Théorème de Banach-Steinhaus [.pdf]
- Théorème de Bernstein [.pdf]
- Théorème de Brouwer en dimension $2$ [.pdf]
- Théorème de Burnside [.pdf]
- Théorème de Caratheodory [.pdf]
- Théorème de Cauchy-Lipschitz global [.pdf]
- Théorème de Chevalley-Warning [.pdf]
- Théorème des deux carrés [.pdf]
- Théorème des extrema liés [.pdf]
- Théorème de Fischer-Riesz [.pdf]
- Théorème de Helly [.pdf]
- Théorème de Kronecker [.pdf]
- Théorème de Liapounov [.pdf]
- Théorème de Montel [.pdf]
- Théorème des quatre sommets [.pdf]
- Théorème de Rothstein-Trager [.pdf]
- Théorème de Stone-Weierstrass [.pdf]
- Théorème de Sylow [.pdf]
- Théorème de Tietze [.pdf]
- Théorème de Von Neumann [.pdf]
- Théorème de Wedderburn [.pdf]
- Leçons présentées à
Beaulieu en 2011-2012 :
- Algèbre :
- 101 - Groupes
opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
- 103 - Exemples et
applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.
- 104 - Groupes
finis. Exemples et applications.
- 105 - Groupes des
permutations d'un ensemble fini. Applications
- 106 - Groupe
linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de
$GL(E)$. Applications.
- 107 -
Représentations et caractères d’un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.
- 108 - Exemples de
parties génératrices d’un groupe. Applications.
- 109 - Anneaux $\mathbb{Z}$ /$n\mathbb{Z}$.
Applications.
- 110 - Nombres
premiers. Applications.
- 111 - Anneaux
principaux. Applications.
- 112 - Corps finis.
Applications.
- 113 - Groupe des
nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l’unité.
Applications.
- 114 - Anneau des
séries formelles. Applications.
- 115 - Corps des
fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif.
Applications.
- 116 - Polynômes
irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et
applications.
- 117 -
Algèbre des polynômes à n
indéterminées $(n \geq 2)$. Polynômes
symétriques. Applications.
- 118 - Exemples
d'utilisation de la notion de dimension d'un espace vectoriel.
- 119 - Exemples
d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
- 120 - Dimension
d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie).
Rang. Exemples et applications.
- 123
- Déterminant. Exemples et applications.
- 124 - Polynômes
d’endomorphisme en dimension finie ; applications à la réduction d’un
endomorphisme en dimension finie.
- 125 - Sous-espaces
stables d’un endomorphisme ou d’une famille d’endomorphismes en
dimension finie. Applications.
- 126
- Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
- 127 - Exponentielle
de matrices. Applications.
- 128 -
Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
- 130 - Matrices
symétriques réelles, matrices hermitiennes.
- 131
- Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie.
Orthogonalité, isotropie. Applications.
- 132
- Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et
applications.
- 133 -
Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de
dimension finie).
- 135 - Isométries
d’un espace affine euclidien de dimension finie. Forme réduite.
Applications en dimensions $2$ et $3$.
- 136 - Coniques.
Applications
- 137
- Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie; convexité.
Applications.
- 139 - Applications
des nombres complexes en géométrie.
- 140 - Systèmes
d'équations linéaires. Systèmes
échelonnés. Résolution. Exemples et applications.
- 141 - Utilisation
des groupes en géométrie.
- 144 - Problèmes
d’angles et de distances en dimension $2$ ou $3$.
- 145 - Méthodes
combinatoires, problèmes de dénombrement.
- 146 - Résultant.
Applications.
- 148 - Formes
quadratiques réelles. Exemples et applications.
- 149 -
Représentations de groupes finis de petit cardinal.
- 150 - Racines d’un
polynômes. Fonctions symétriques élémentaires. Localisation des racines
dans les cas réel et complexe.
- 151 - Extensions de
corps. Exemples et applications.
- Analyse :
- 201 - Espaces de
fonctions : exemples et applications.
- 202 - Exemples de
parties denses et applications.
- 203 - Utilisation
de la notion de compacité.
- 204 - Connexité.
Exemples et applications.
- 205 - Espaces
complets. Exemples et applications.
- 206 - Théorèmes de
point fixe. Exemples et applications.
- 207
- Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
- 208 - Espaces
vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
- 213 - Espaces de
Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
- 214 - Théorème
d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et
applications.
- 215 - Applications
différentiables définies sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$. Exemples et
applications.
- 216
- Étude métrique de courbes. Exemples.
- 217 - Sous-variétés
de $\mathbb{R}^n$. Exemples.
- 218 - Applications
des formules de Taylor.
- 219 - Problèmes
d’extremums.
- 220 - Équations
différentielles $X^\prime = f (t,X)$. Exemples d’études qualitatives des
solutions.
- 221
- Équations différentielles linéaires,
systémes d'équations différentielles
linéaires. Exemples et applications.
- 223
- Convergence des suites numériques. Exemples et applications.
- 224 - Comportement
asymptotique des suites numériques. Rapidité de convergence. Exemples.
- 226 - Comportement
d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itérations $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples.
- 228 - Continuité
et dérivabilité des fonctions réelles d'une
variable réelle. Exemples et contre-exemples.
- 229
- Fonctions monotones, fonctions convexes. Exemples et applications.
- 230 - Séries
de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des
sommes partielles des séries numériques. Exemples.
- 232 - Méthodes
d'approximation des solutions d'une équation $F(x) = 0$.
- 234 - Espaces $L^p$, $1 \leq p \leq \infty$.
- 235
- Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.
- 236 - Illustrer par
des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions
d'une ou plusieurs variables réelles.
- 238 - Méthodes de
calcul approché d'intégrales et d'une solution d'une équation
différentielle.
- 239 - Fonctions
définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et
applications.
- 240 -
Transformation de Fourier. Applications.
- 245 - Fonctions
holomorphes et méromorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$. Exemples et applications.
- 241
- Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
- 242 - Utilisation
en probabilités de la transformation de Fourier ou de Laplace et du
produit de convolution.
- 243 - Convergence
des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
- 246 - Séries de
Fourier. Exemples et applications.
- 247 - Exemples de
problèmes d'interversion de limites.
- 249 - Suites de
variables de Bernoulli indépendantes.
- 250 - Loi des
grands nombres. Théorème de la limite centrale. Applications.
- 251 - Indépendance
d’événements et de variables aléatoires. Exemples.
- 252 - Loi binomiale, loi de
Poisson. Applications.
- 253 - Utilisation de la notion
de convexité en analyse.
- 254 - Espaces de Schwartz et
distributions tempérées.
- 255 - Dérivation au sens des
distributions. Exemples et applications.
- 256 - Transformation de Fourier
dans $S(\mathbb{R}^d)$ et $S^\prime(\mathbb{R}^d)$.